任何形狀的信號都可以視作無限個不同頻率的正弦交變信號的疊加，在數(shù)學上用傅里葉序列來表述。假設有一周期信號x(t),其周期為T,那么它的傅里葉序列為

式中，a₀、a_n、b_n為傅里葉系數(shù)；為各次諧波的頻率。常規(guī)的超聲檢測信號一般可認為是有限時間的瞬態(tài)信號，而對于某一瞬時態(tài)信號x(t),可設定其周期T趨向于無窮大，這時序列可以寫作:

這里傅里葉系數(shù)變?yōu)檫B續(xù)的頻率函數(shù):

式(3-5)即是著名的傅里葉變換，式（3-4)是傅里葉反變換，其中f代表頻率，x(f)為一復函數(shù)，其幅-頻和相-頻關系為

在超聲檢測中，幅-頻關系表示的是超聲回波信號聲壓隨頻率變換的關系，而相-頻關系則表示的是被檢測材料對不同頻率超聲波的滯后效應。

如果將信號x(t)經A/D采樣變成數(shù)字信號序列x(n)，則對照式(3-5)可得出其離散傅里葉變換( Discrete Fourier Transform，簡稱DFT):

式中，n、k為序列號; N為數(shù)字信號序列的點數(shù)。

為了減少運算次數(shù)，縮短運算時間，1965 年誕生了一種計算DFT的新方法，稱為FFT算法。由式(3-8)可知，用標準的DFT法計算所有的Y(k)時，對于N個Y(k)中的每一個，必須作 的N次復數(shù)乘加運算，則運算整個序列需要的總運算量為N²次復數(shù)乘加運算。由于一次復數(shù)乘加等于四次實數(shù)乘加，因此，對于大的N值，運算工作量將是相當大的。

FFT是把整個序列分解成若干較短的序列作DFT計算，用以代替計算原始序列的DFT。只要計算出較短序列的DFT,然后通過巧妙的辦法把它們合并起來，就可得到整個序列的DFT。由于FFT使傅里葉變換的運算速度提高了兩個數(shù)量級，從而帶動數(shù)字信號處理方法在振動、聲學及若干領域獲得普遍應用。

FFT的實現(xiàn)方式有三種，即通過通用計算機加FFT軟件、專用硬件或數(shù)字信號處理器(DSP)加軟件來實現(xiàn)。

用軟件在通用計算機上實現(xiàn)FFT具有通用性強、額外投資少等優(yōu)點，缺點是運算速度慢。硬件FFT指的是用乘法累加器實現(xiàn)蝶形運算，用控制電路實現(xiàn)對FFT運算的控制(如循環(huán)等)。其優(yōu)點是運算速度快，但缺乏通用性。目前多用于對實時性要求較高的水聲、雷達等專業(yè)領城。借助數(shù)字信號處理器(DSP)以及匯編語言實現(xiàn)FFT運算，是一種軟、硬件相結合的信號處理方式，不僅速度快，而且通用性好，目前成為振動、聲學等領城中信導處理的主要工具。

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